Родился в селе Букреевка Щигровского района Курской области. С отличием закончил семилетку, поступил в сельскохозяйственный техникум.
В сентябре 1941 года семнадцатилетний Анатолий получил повестку из военкомата и был направлен на учёбу в Камышинское танковое училище. В феврале 1943 года окончил его с отличием и в звании младшего лейтенанта прибыл на Северо-Западный фронт в 100-ю отдельную танковую бригаду.
Весной 1943 года командование перебросило танковую бригаду под Курск в район Обояни. Три месяца танкисты готовились к боевым действиям, которые вошли в историю Великой Отечественной войны как легендарная Курская битва.
В первый день Курской битвы танковый взвод лейтенанта Ачкасова, находясь в засаде, подбил пять «тигров», уничтожил до роты пехоты, несколько самоходных орудий.
По воспоминаниям Анатолия Григорьевича бой 6 июля 1943 года был для него самый тяжёлый за всю войну. В районе Яковлево немецкие дивизии прорвали нашу оборону. Танковую бригаду бросили наперерез трём немецким дивизиям. Перевес сил был несоизмерим: 63 советских танка против несколько сотен вражеских. В течение всего дня наши танкисты отражали вражеские атаки. К вечеру на поле боя находилось большое количество подбитых и обгоревших танков, убитых и раненых с обеих сторон. Покидая подбитые машины, имея личный пистолет или вооружившись автоматом, танкисты сходились с гитлеровцами в рукопашной схватке. В этот день лейтенант Ачкасов уничтожил в рукопашном бою трёх гитлеровцев. Особенно запомнилась дуэль с четвёртым фашистом. Анатолий был ранен в левую руку и ногу, осколок разрезал шлем и повредил голову. Обессиленный, он лежал на спине возле подбитого танка. Вдруг увидел, что прямо на него с пистолетом в руках идёт гитлеровец. Фашист, возможно, приняв его за убитого, приближался уверенной походкой и, подойдя на близкое расстояние, направил пистолет. Но наш танкист, мгновенно рывком поднял руку и на какую-то долю секунды выстрелил первым. Враг был убит. Ночью лейтенант отполз в расположение к своим и был направлен в полевой госпиталь. Однако через две недели из госпиталя сбежал, догнал свой танковый взвод и долечивался ещё месяц на фронте.
После Курской битвы Анатолию Ачкасову присвоили звание старшего лейтенанта и назначили командиром танковой роты. Он участвовал в освобождении Украины, Польши, Чехословакии. В боях был трижды ранен, не раз горел в танке. Вместе со своим экипажем подбил 24 немецких танка.
В сентябре 1944 года в Польше у реки Вислок для наших частей сложилась тяжелая обстановка, наступление было приостановлено. Для прорыва вражеской обороны сформировали штурмовую группу. В нее вошла и танковая рота старшего лейтенанта Ачкасова. Штурмовая группа, несмотря на яростный огонь противника, пробились через глубоко эшелонированную оборону врага. А за ними устремилась вся 100-я бригада. Путь для наступления был расчищен. Вслед за танками вперед устремилась пехота.
За образцовое выполнение боевых заданий и проявленные мужество и героизм 10 апреля 1945 года Указом Президиума Верховного Совета СССР Анатолию Григорьевичу Ачкасову присвоено звание Героя Советского Союза. Он участник Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади. Был демобилизован в декабре 1945 года.
После войны Анатолий Григорьевич активно участвовал в восстановлении народного хозяйства Белгородчины. Был директором конторы «Заготзерно» в Белгородском районе, уполномоченным Министерства заготовок по району, начальником сельхозуправления района, с 1955 по 1965 год возглавлял колхоз «Путь Ильича». В 1981 году вышел на пенсию, жил в Белгороде.
Награжден орденом Ленина, орденами Красного Знамени, Отечественной войны 1-й степени, медалью «За отвагу». Удостоен звания Почётный гражданин Белгорода и города Щигры Курской области.
В память о герое установлен барельеф на аллее Славы в поселке Октябрьский Белгородского района Белгородской области.