Родился в селе Кологреево Орловской области. В 1980 году после смерти отца семья переехала на постоянное место жительства в поселок Октябрьский Белгородского района Белгородской области. В 1994 году окончил Октябрьскую среднюю школу, в 1997 году — Белгородский педагогический колледж. После окончания колледжа был распределён учителем физической культуры в Бессоновскую среднюю школу. Как сельский учитель Юрий Чумак получил право на отсрочку от призыва в армию, но принял решение идти служить.
27 ноября 1997 года военным комиссариатом Белгородского района был призван в Вооруженные силы России в воздушно-десантные войска. В Омске, в войсковой части учился на механика-водителя боевой машины десанта.
Службу проходил в 247-м гвардейском десантно-штурмовом кавказском казачем полку 7-й гвардейской воздушно-десантной дивизии, которая дислоцировалась в городе Ставрополь. Зарекомендовал себя исключительно с положительной стороны. Командование в служебной характеристике отмечало: «Исполнительный, добросовестный военнослужащий. Требователен к себе и к своим подчиненным, является первым помощником командира подразделения. Среди своих сослуживцев сержант Чумак Юрий Алексеевич пользуется заслуженным авторитетом».
В феврале 1999 года был направлен в командировку в Дагестан. После вторжения боевиков в Дагестан в составе группы стал совершать разведывательные выходы в тыл противника. Один из них состоялся 22 августа 1999 года. Группа капитана Игоря Хоменко была обнаружена после выполнения задания; командир приказал бойцам отступать, оставшись прикрывать группу, с ним добровольно остался и Юрий Чумак. Капитан погиб, Юрий, отбиваясь, пытался вынести его тело, но был окружён и погиб.
За мужество и героизм Указом Президента Российской Федерации от 27 октября 1999 года Юрий Алексеевич Чумак был удостоен звания Героя России посмертно.
Похоронен в посёлке Октябрьский Белгородского района Белгородской области.
Бюсты Героя России Юрия Алексеевича Чумака установлены в парке Победы и у педагогического колледжа в городе Белгороде. На фасаде педагогического колледжа установлена мемориальная доска. Октябрьская средняя школа, в которой учился Герой, носит его имя. Ежегодно проводится областной турнир по рукопашному бою памяти Юрия Чумака.