Родился 25 сентября 1894 года в городе Белгороде, в семье присяжного поверенного. Учился сначала в мужской гимназии Белгорода. После смерти отца в 1907 году семья переехала в Москву, и Николай продолжил обучение в одной из московских гимназий. Рано увлёкся авиамоделированием. В 1910 году на состязаниях воздухоплавательного кружка при Императорском Московском техническом училище Николай Анощенко получил первый приз из рук председателя жюри, знаменитого профессора Николая Жуковского.
С 1909 года его деятельность связана с авиацией. В 1912 году ему удалось установить спортивный рекорд Российской Империи по длительности перелета: маршрут Москва — Севастополь он преодолел за 28 дней, побив рекорд военного летчика лейтенанта В.В.Дыбовского, который перелетел из Севастополя в Москву за 30 дней.
В 1914 году он планировал поступать в Высшую школу аэронавтики в Париже – единственное в те годы высшее учебное заведение, готовящее инженеров-самолётостроителей. Но началась Первая мировая война, и Николай добровольцем ушёл на фронт.
За два года пребывания на фронте он вырос от младшего офицера до командира отряда. После окончания в 1916 году Офицерской воздухоплавательной школы в Петрограде, командовал 5-м армейским воздухоплавательным отрядом на Северном фронте. Первым в русской армии совершил парашютный прыжок с аэростата, первым предложил оснастить купол парашюта разработанным им чехлом, который на протяжении всего ХХ века являлся неотъемлемой частью любого парашюта. Он совершил показательный прыжок с парашютом из корзины привязного аэростата, что свидетельствует о выдающейся храбрости Николая Анощенко. В то время прыжки с парашютом были редкостью, считалось, что это небезопасно для жизни. Поручик Анощенко стремился на личном примере убедить офицеров и солдат, что парашют является хорошим спасательным средством для воздухоплавателей.
Николай Анощенко кавалер шести боевых наград, в том числе и ордена Святого Георгия. По прошествии многих лет, в годы Великой Отечественной войны, он прилагал усилия для того, чтобы Георгиевский крест был узаконен советским правительством, как и орден Славы, во многом сходный с ним по идеологии. Известно письмо Николая Дмитриевича на имя Иосифа Виссарионовича Сталина, в котором он писал следующее: «….прошу Вас рассмотреть вопрос о приравнивании бывших георгиевских кавалеров, награждённых этим орденом за боевые подвиги, совершённые во время прошлой войны с проклятой Германией в 1914—1919 г., к кавалерам советского ордена Славы, так как статут последнего почти полностью соответствует статуту бывшего ордена Георгия и даже цвета их орденских лент и их рисунок одинаковы. Этим актом Советское правительство прежде всего продемонстрирует преемственность военных традиций славной русской армии, высокую культуру уважения ко всем героическим защитникам нашей любимой Родины… это мероприятие будет способствовать ещё большему укреплению боевой мощи нашей доблестной Красной Армии».
Несмотря на то, что не было принято официального решения по этому вопросу, Георгиевские кавалеры, мобилизованные на фронт в годы Великой Отечественной войны, носили Георгиевские кресты беспрепятственно, и пользовались в армейской среде законным уважением.
В годы Гражданской войны Николай Дмитриевич Анощенко стал организатором первых воздухоотрядов Красной Армии. С апреля 1920 года был помощником начальника Полевого управления авиации и воздухоплавания действующей армии. Возглавлял аэростатный отдел «Летучей лаборатории» — первое советское научно-исследовательское учреждение в области авиации, занимался возрождением планеризма в России. 27 июля 1920 года Николай Дмитриевич Анощенко с двумя помощниками совершил первый в нашей стране свободный полет на аэростате, поднявшись с Красной площади в Москве на высоту 5000 метров и приземлившись у города Богородска. За этот полёт ему было присвоено звание «Первый красный пилот-воздухоплаватель». В ноябре 1922 года на свободном аэростате группа аэронавтов во главе с Н.Д. Анощенко совершила полёт продолжительностью 22 часа 10 минут на расстояние 1273 км из Москвы до озера Лиекса в Северной Карелии. Это был новый мировой рекорд.
Для создания учебных пособий по авиации Николай Дмитриевич Анощенко освоил киносъемочную технику. После демобилизации в 1924 году поступил в Государственную школу кинематографии (будущий ВГИК), на операторское отделение, которое окончил в 1927 году. Снимал документальные и художественные фильмы. Будучи профессором, преподавал во ГИКе, вел курсы «Основы кинотехники», «Общая кинотехника», «Технология производства фильмов». Николаем Анощенко издан ряд научных трудов и сделаны изобретения в области кинотехники. Им изобретён проектор с непрерывным движением плёнки и аддитивная система цветного кино «Спектроколор», по которой был снят первый советский цветной фильм «Праздник труда». Некоторые книги Николая Дмитриевича по кинотехнике были изданы за рубежом.
Он умер в Москве 15 декабря 1974 года, похоронен на Ваганьковском кладбище.
Награжден орденом Красной звезды и орденом Трудового Красного Знамени.
В память об Н.Д.Анощенко в Белгороде одна из улиц носит его имя. На здании, построенном на месте дома по ул.Богдана Хмельницкого, в котором жила семья Анощенко, установлена мемориальная доска.