Родился в с. Митрофановское Ставропольской губернии в семье крестьянина. Окончил трёхклассную церковно-приходскую школу. Подростком батрачил, работал пастухом.
В 1911 году Апанасенко был призван в Русскую армию. Участвовал в Первой мировой войне, за боевые заслуги был произведён в прапорщики, назначен командиром пулемётной роты. К концу войны прапорщик Апанасенко имел четыре Георгиевских креста.
В конце 1917 года Иосиф Родионович вернулся в родное село и сразу был избран председателем Совета и Военно-революционного комитета села Митрофановское Ставропольской губернии. Являлся организатором партизанских отрядов, оказывающих сопротивление частям Белой армии.
С октября (по другим сведениям с августа) 1918 года он стал командиром бригады 2-й Ставропольской пехотной дивизии, а затем 1-й кавалерийской дивизии ставропольских партизан, которая позже была переименована в 6-ю кавалерийскую дивизию и вошла в состав кавалерийского корпуса С.М.Будённого, а потом в состав 1-й Конной армии Красной Армии.
Дивизия, которой командовал И.Р. Апанасенко, проявила себя с наилучшей стороны в боях за Воронеж, под Касторным, Белгородом, Ростовом-на-Дону, в районе станицы Егорлыкской, Брод и Львова.
В 1923 году Апанасенко сумел окончить Военно-академические курсы высшего комсостава РККА, в 1932-м – Военную академию им. М.В.Фрунзе.
С сентября 1935 по 1938 годы он был заместителем командующего войсками Белорусского военного округа по кавалерии.
С февраля 1938 года — командующий войсками Среднеазиатского военного округа.
4 июня 1940 года И.Р. Апанасенко в числе первых было присвоено воинское звание — генерал-полковник.
С января 1941 года он стал командовать войсками Дальневосточного фронта. За время своего командования Дальневосточным фронтом им было много сделано для укрепления обороноспособности советского Дальнего Востока. Также в начальный период войны с гитлеровской Германией под его непосредственным руководством формировались дальневосточные хорошо вооруженные полноценные стрелковые дивизии, которые в самые критические дни обороны Москвы были отправлены на Западный фронт и оказали решающее влияние в битве за столицу СССР.
В июне 1943 года И.Р. Апанасенко после многочисленных просьб о направлении в действующую армию был назначен заместителем командующего войсками Воронежского фронта. Во время боёв под Белгородом 5 августа 1943 года он был смертельно ранен при налёте вражеской авиации и в тот же день скончался.
Генерал армии Апанасенко был похоронен в Белгороде на площади Революции (Соборной). Позднее его прах согласно завещанию был перезахоронен в Ставрополе.