Родился на хуторе Покровском Ивнянского района Белгородской области в крестьянской семье. Окончил начальную школу в родном хуторе, затем неполную среднюю Верхопенскую школу. По воспоминаниям одноклассников отличался крепким телосложением, смелостью и ловкостью. В Осоавиахимовском кружке сдал нормы на значок «Ворошиловский стрелок», показывал хорошие результаты на областных соревнованиях по стрельбе. После окончания школы работал в колхозе.
Когда началась Великая Отечественная война отец ушел на фронт. Михаил тоже стремился на фронт, но он ещё не достиг призывного возраста, в военкомате ему было отказано. В октябре 1941 года хутор Покровский был оккупирован. Гитлеровцы начали угонять молодёжь в Германию на принудительные работы. Больше года ему пришлось укрываться от полицаев, чтобы не быть угнанным в фашистское рабство.
В феврале 1943 года советские войска освободили хутор, и уже в марте Михаил Абросимов был на фронте, овладевал специальностью телефониста. Боевое крещение принял на Брянщине в составе 297-го гвардейского зенитно-артиллерийского полка 3-й гвардейской зенитно-артиллерийской дивизии. Телефонист Абросимов обеспечивал командира зенитной батареи надёжной связью. За образцовое выполнение обязанностей: быстрое восстановление поврежденных телефонных линий, обеспечение бесперебойной связи во время отражения налётов вражеской авиации, Михаил был представлен к своей первой боевой награде – медали «За отвагу».
Летом 1944 года Красная Армия начала мощное наступление в Белоруссии. В районе Бобруйска наши войска окружили крупную вражескую группировку. 30 июня 1944 года, вырвавшиеся из окружения полторы тысячи гитлеровских автоматчиков, вышли в районе железнодорожного узла Осиповичи Могилёвской области на зенитчиков 4-й батареи, где находился гвардии ефрейтор Абросимов. Вместе со своим отделением и несколькими разведчиками он занимал позицию позади стрелковой роты. Немцы психической атакой шли на огневую позицию батареи. Пехота, лежавшая впереди батареи, не выдержала напора гитлеровцев и стала отходить. Тогда старший телефонист Абросимов, оценивая создавшуюся для батареи ситуацию, первым поднялся в атаку, за ним в атаку пошли боевые товарищи. Враг отступил, оставив на поле боя 38 убитых, более 70 солдат противника было взято в плен.
В этой схватке гвардии ефрейтор Абросимов был смертельно ранен. Он был похоронен в полутора километрах от города Осиповичи, позже перезахоронен на станции Верейцы.
За исключительное мужество и героизм, проявленные в этом бою, 22 августа 1944 года Указом Президиума Верховного Совета СССР гвардии ефрейтору Михаилу Романовичу Абросимову посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
В Беларуси и на родине чтут память героя. Он навечно зачислен в списки личного состава воинской части, в которой служил. В военном городке, где дислоцируется воинская часть, установлен бюст. Имя Михаила Абросимова присвоено улице в городе Осиповичи.
На Белгородчине имя Героя Советского Союза Михаила Романовича Абросимова носит Верхопенская средняя школа. В районном центре, в посёлке Ивня, на аллее Славы установлен его бюст, на здании Ивнянской средней школы – мемориальная доска.