Родился 25 августа 1925 года в селе Булановка Шебекинского района Белгородской области. В 30-е годы семья Бочарниковых переехала в Суджанский район Курской области. Осенью 1941 года, после оккупации, Бочарниковы перебралась к родственникам в село Нечаево Корочанского района. Шестнадцатилетний Аркадий с семьёй больше года провёл на оккупированной территории. В феврале 1943 года село Нечаево было освобождено и он добровольно вступил в Красную Армию. Окончив в городе Рыбинске краткосрочные артиллерийские курсы, прибыл на Центральный фронт и был зачислен в 533-й истребительно-противотанковый артиллерийский полк. Летом 1944 года советские войска начали наступление в Белоруссии. 533-й истребительно-противотанковый артиллерийский полк доблестно сражался под Бобруйском и Осиповичами. Наводчик орудия Аркадий Бочарников отличился в боях за город Кобрин. При отражении контратаки противника, в составе своего орудийного расчёта, он прямой наводкой уничтожил вражеский ДЗОТ, НП и пулемётную точку, за что был награждён медалью «За отвагу».
Осенью 1944 года 533-й истребительно-противотанковый артиллерийский полк в составе 61-ой армии был переброшен в Прибалтику. Части и соединения Красной Армии перешли в наступление на территории Литвы.
25 октября 1944 года у литовской деревни Крижишки советские подразделения были атакованы мощными немецкими танковыми и пехотными силами при поддержке артиллерии. Орудие наводчика Бочарникова занимало позицию в боевых порядках нашей пехоты. Артиллерист подпустил немецкие танки на дистанцию 100-150 метров, первым же выстрелом поджег тяжелый «Тигр». Следующий вражеский танк, продолжавший атаковать, открыл огонь по артиллерийскому расчёту. Разорвавшийся снаряд разбил панораму орудия, тяжело ранил командира. Ефрейтор Бочарников продолжил бой, наводя орудие через ствол, заряжая его в одиночку. Был подожжен ещё один «Тигр». Когда орудие окончательно вышло из строя, артиллерист укрылся в окопе и противотанковой гранатой уничтожил третью вражескую машину. Был ранен, но продолжал сражаться. Погиб при взрыве снаряда, выпущенного вражеским танком. Похоронен на военном кладбище в городе Сяда в Литве.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года ефрейтору Бочарникову Аркадию Николаевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Бюст Героя Советского Союза А.Н. Бочарникова установлен в парке им. Г.Д. Гая в городе Короча. Его имя увековечено на Аллее Славы в городе Шебекино.
Имя Героя Советского Союза А.Н. Бочарникова носит Тёткинская средняя школа Глушковского района Курской области, на здании школы установлена мемориальная доска.